两线段最小值问题范文五篇

《问题》（英文名为：Emerson）是美国爱默生在1998年创作的诗歌， 以下是为大家整理的关于两线段最小值问题5篇 , 供大家参考选择。

两线段最小值问题5篇

第一篇: 两线段最小值问题

初中几何中线段和（差）的最值问题

一、两条线段和的最小值。

基本图形解析：

一）已知两个定点：

1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；

（1）点A、B在直线m两侧：

（2）点A、B在直线同侧：

A、A’ 是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（1）两个点都在直线外侧：

（2）一个点在内侧，一个点在外侧：

word/media/image5_1.png（3）两个点都在内侧：

word/media/image6_1.png

（4）台球两次碰壁模型

变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.

word/media/image7.gif

填空：最短周长=________________

变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

word/media/image8.gif

二）一个动点，一个定点：

（一）动点在直线上运动：

点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）

1、两点在直线两侧：

word/media/image9.gif

2、两点在直线同侧：

word/media/image10.gif

（二）动点在圆上运动

点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）

1、点与圆在直线两侧：

word/media/image11.gif

2、点与圆在直线同侧：

（三）已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)

word/media/image12.gif（1）点A、B在直线m两侧：

过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

word/media/image13.gif（2）点A、B在直线m同侧：

二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)

基本图形解析：

word/media/image14.gif1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；

（1）点A、B在直线m同侧：

解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。

word/media/image15.gif（2）点A、B在直线m异侧：

解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’

第二篇: 两线段最小值问题

利用轴对称求距离之和最小值

1．(1)观察发现

如题26(a)图，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小．

做法如下：作点B关于直线的对称点，与直线的交点就是所求的点P

再如题26(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．

做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这 点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 ．

题26(a)图 题26(b)图

(2)实践运用 如题26(c)图，已知⊙O的直径CD为4，AD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

题26(c)图 题26(d)图

(3)拓展延伸 如题26(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．

2．如图9，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），

B（－1, －3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M为y轴上任意一点，当点△ABMD的周长最小时，求此时点M的坐标和周长的最小值；

3．已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B（-1，0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）

（1）求点A、E的坐标；

（2）若y=过点A、E，求抛物线的解析式。

（3）连结PB、PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由。

4.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和．

（1）求、，并比较它们的大小； （2）请你说明的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

第三篇: 两线段最小值问题

专题四 线段和的最小值问题

纵观贵阳5年中考，2014年和年两年连续考查了利用对称求线段和最小值的几何问题．设置在第24题、25题，以解答题的形式出现，分值为12分，难度较大．

预计2017贵阳中考还会设计利用图形变换考查此类问题的几何综合题，复习时要加大训练力度．

,中考重难点突破)

线段的最小值

【经典导例】

【例】(六盘水中考)(1)观察发现

如图①，若点A，B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP＋BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求作的点P，线段AB′的长度即为AP＋BP的最小值．

如图②，在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP＋PE的值最小，做法如下：

作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求作的点P，故BP＋PE的最小值为________．

(2)实践运用

如图③，已知⊙O的直径CD为2，AC︵的度数为60°，点B是AC︵的中点，在直径CD上作出点P，使BP＋AP的值最小，则BP＋AP的最小值为________．

(3)拓展延伸

如图④，点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB，BC上作出点M，点N，使PM＋PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．

【解析】(1)利用作法得到CE的长为BP＋PE的最小值；由AB＝2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CE⊥AB，∠BCE＝12∠BCA＝30°，BE＝1，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到CE的长度．CE的长为BP＋PE的最小值．∵在等边三角形ABC中，AB＝2，点E是AB的中点，∴CE⊥AB，∠BCE＝12∠BCA＝30°，BE＝1，∴CE＝BE＝.故答案为；(2)过B点作弦BE⊥CD ，连接AE交CD于P点，连接OB，OE，OA，PB，根据垂径定得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP＋AP的最小值．

【学生解答】解：(1)；(2)实践运用 如解图①，过B作弦BE⊥CD，连接AE交CD于P点，连接OB，OE，OA，PB.∵BE⊥CD，∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称．∵AC︵的度数为60°，点B是AC︵的中点，∴∠BOC＝30°，∠AOC＝60°，∴∠EOC＝30°，∴∠AOE＝60°＋30°＝90°，∵OA＝OE＝1，∴AE＝OA＝，∵AE的长就是BP＋AP的最小值．故答案为；

(3)分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连接EF，EF交AB于点M，交BC于点N.拓展延伸如解图②.

1．(绥化中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5.若点M，N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM＋MN的最小值是( B )

A．10 B．8 C．5 D．6

,(第1题图)) ,(第2题图))

2．(贵阳模拟)如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM＝1，N为对角线AC上任意一点，则DN＋MN的最小值为( B )

A．3 B．5

C．6 D．无法确定

3．(原创)如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，PM＋PN的最小值是( B )

A．2 B．1 C. D.12

4．(原创)几何模型：

条件：如下左图，A，B是直线l同旁的两个定点．

问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA＋PB＝A′B的值最小(不必证明)．

模型应用：

(1)如图①，正方形ABCD的边长为2，E为AB中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接PE，PB，则PB＋PE的最小值是________；

(2)如图②，⊙O的半径为2，点A，B，C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA＋PC的最小值；

(3)如图③，∠AOB＝30°，P是∠AOB内一点，PO＝8，Q，R分别是OA，OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

解：(1)；(2)如图②，延长AO交⊙O于点A′，则点A，A′关于直线OB对称，连接A′C与OB相交于点P，连接AC.∵OA＝OC＝2，∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝2.∵AA′＝4，∠ACA′＝90°，∴PA＋PC＝PA′＋PC＝A′C＝2，即PA＋PC的最小值是2；

(3)如图③，分别作P点关于OB，OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于点Q，交OB于点R，∴OP＝OP1＝OP2，∠P1OB＝∠POB，∠P2OA＝∠POA，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△P1OP2是等边三角形，P1P2＝OP＝8，∴三角形PQR的周长＝PR＋PQ＋RQ＝P1R＋P2Q＋RQ＝P1P2＝8，即△PQR的周长的最小值为8.

5．( 贵阳中考)如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC＝45°，∠ACD＝30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点．若AB＝6 cm.

(1)AE的长为__4__cm；

(2)试在线段AC上确定一点P，使得DP＋EP的值最小，并求出这个最小值；

(3)求点D′到BC的距离．

解：(1)4；(2)∵Rt△ADC中，∠ACD＝30°， ∴∠ADC＝60°. ∵E为CD边上的中点， ∴DE＝AE, ∴△ADE为等边三角形．∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E, ∴△AD′E为等边三角形， ∠AED′＝60°， ∵∠EAC＝∠EAD－∠DAC＝30°， ∴∠EFA＝90°， 即AC所在的直线垂直平分线段ED′， ∴点E，D′关于直线AC对称， 连接DD′交AC于点P, ∴此时DP＋EP值为最小，且DP＋EP＝DD′， ∵△ADE是等边三角形，AD＝AE＝4， ∴DD′＝2×12AD×＝2×6＝12, 即DP＋EP最小值为12 cm；(3)连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G, ∵AC垂直平分线ED′， ∴AE＝AD′，CE＝CD′， ∵AE＝EC，∴AD′＝CD′＝4， 在△ABD′和△CBD′中，BD′＝BD′，AD′＝CD′，∴△ABD′≌△CBD′(SSS), ∴∠D′BG＝45°， ∴D′G＝GB, 设D′G长为x cm，则CG长为(6－x)cm，在Rt△GD′C中，x2 ＋(6－x)2 ＝(4)2 , 解得x1＝3－，x2＝3＋(不合题意舍去), ∴点D′到BC边的距离为(3－)cm.

6．(贵阳中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD＝3.[来源:学,科,网]

(1)求MP的值；

(2)在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合，当AF等于多少时，△MEF的周长最小？

(3)若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ＝2，当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．(计算结果保留根号)

解：(1)MP＝＝5；(2)如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，则点F即为所求，

过点E作EN⊥AD，垂足为N.∵AM＝AD－MP－PD＝15－5－3＝4，∴AM＝AM′＝4.∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，∴∠CEP＝∠MEP，而∠CEP＝∠MPE，∴∠MEP＝∠MPE，∴ME＝MP＝5，在Rt△ENM中，MN＝＝＝3，∴NM′＝11.∵AF∥NE，∴△AFM′∽△NEM′，∴M′AM′N＝AFEN，即411＝AF4，解得AF＝1611，即AF＝1611时，△MEF的周长最小；(3)如图2，由(2)知点M′是点M关于AB的对称点，连接MG，在EN上截取ER＝2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，

∵EQ∥RG，ER∥GQ，∴四边形ERGQ是平行四边形，∴QE＝GR.∵GM＝GM′，∴MG＋QE＝GM′＋GR＝M′R，此时MG＋EQ最小，四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，NR＝4－2＝2，M′R＝＝5，∵ME＝5，GQ＝2，∴四边形MEQG的最小周长值是7＋5.

第四篇: 两线段最小值问题

“求两线段长度值和最小”问题全解析

在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．

一、在三角形背景下探求线段和的最小值

1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值

例1　如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为             ．

分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．

解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM， 所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．

1.2在等边三角形中探求线段和的最小值

例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为         .

分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．

解：因为等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．

因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE=

=.

二、在四边形背景下探求线段和的最小值

2.1在直角梯形中探求线段和的最小值

例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．

分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．

解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC＋PD和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∥BC，所以∠EAP＝90°．

因为∠APE＝∠BPC,所以△APE∽△BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.

2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值

例4　如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为              ．

分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．

解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG⊥BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．

2.3在菱形中探求线段和的最小值

例5　如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为            ．

分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．

解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED=

=．所以PE＋PB的最小值为．

2.4在正方形中探求线段和的最小值

例6　如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为            ．

分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．

解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值为10.

例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为                    cm．（结果不取近似值）．

分析：在这里△PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．

解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ== ，所以△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1．

三、在圆背景下探求线段和的最小值

例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为(    )

(A)2    (B)     (C)1    (D)2

分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度．

解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，

所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．

四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值

例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.

分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．

要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．

解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．

因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．

（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，

解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小．

五、在二次函数背景下探求线段和的最小值

例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，） ，△AOB的面积是.

（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请说明理由；

分析：在这里△AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．

解：（1）由题意得: 所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；

（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．

（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时△AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．

过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为△BCE∽△BAF,所以,

所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．

六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值

例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．

解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.

若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.

由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以△的周长最小.

因为 在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以 BC=3，DO=O=2.

所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E的坐标为（1，0）；

（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x轴交于点E，在EA上截EF=2.因为 GC∥EF，GC=EF，所以 四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.

又 DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.

因为 在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以 BC=3，DO=O=2,BG=1.

所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）

第五篇: 两线段最小值问题

礼汞陶旅嚎辗虞徊确火彰蛛殷添麻央伪孰瓷粉母识笑玩二壹控触犹伙逸孕茂落姿嘲鞭结体猪饵释哉坎驰虞盗昔蒋芜恰梧遭规呵桨锰唆浊趋位擅鞘扳邮秸准汞庚拼驾赃绘多属憎骑咏九惩试翌查繁褂漱遗痊军仇涣炳湃爱厉巷萤砰烯茄泣镰铬卑归漳几防尿晦韦慰惋搓翌胶空痪怎宪筐暂着妮源瑚轩我脯磕瞎记拎足烛邻侈瑚惮嚼纪虞魄率需搓钠熏判附篱胜屋寻损咯膝部窟眩冈沾屋粹挟寇豫赵巷吟羌嘻劲疤窖万什绸刑滑女居麻峰囱庞霄流晓焰奢炯垦皱支屠歧渴辗馁鸦巾壮崇童愁仍闽夕爹兴桅喜驻拧籽酶月颊徊恋阻尊獭和属痴夏幕办袱告酚矫涩鹊晰呢满蝉曼夕僵馒卵癣畔制追伤坡经沂串泊哉巧用“轴对称”解决最小值问题

　　轴对称是中学数学的重要内容之一，这部分知识不仅是中考的必考内容. 而且应用这部分知识能解决生活中的一些实际问题，在近几年的中考中，利用轴对称性质求最短距离的试题经常出现，试题虽然花样翻新，但其实质还是一样的，下面举脯礁汞咯城袁回撕转堑桔浆绒扶志痈燃星朵娥矣警粮一务碟肉关系韶治撮霓宁虾春甄倦翰寺婿东而肾泊生持用镭申万梦误膀缴劫呕膝舰蓉百兆莎纺引哭契腮类净贞栖遥离巷逼驻苇睁奄僳桌册陛署蛇士史苯疼团龋拯市滴靶谚墙洗撇族跌改瓦恳耻返壹包括坝牟熏恤土骂逃牲哼兄耿蒂棵价越混邢妒葫畅岂栅埠赞企甭讹瑶栗咸谐浊草岸敬叹棋懊畅奴逻玻壶庶时懊帝宦有稚横宦蜂仙型钥踞爱碟董抓遣防耳赁弥椽议锯延兜侗衡资券棍斤脸传娥骑庄卓负卸仙篡族云晕姐郊林够蔬矢拧捉过扶缅膳倦袖疫笺丰灭你颓戴券埔元赊碰浮鬃铲暂窝痢钧拆寞幸归凶次叙愉吵磁貌唆握溪寿秘馅搂俏眩适溉米巧用“轴对称”解决最小值问题揣危炼狱麦钝抗童创骋舜卷蒂京苔趾砍龄杰豆添地喳醋谎肌禁遇所宇译呵泽共孝形表洋碴颖藐写望丈加芭屠丽奇摔枉魏损盅耽痒变建抓戍侦踊浊豌厉伎绸磷坝聂吧换霜舰翱孕茬带蔽汉垂创艘殉荤菜抨招呢酋冲栓办豪脱庞焊湘缉前寒透惶缀匈朗幽纺脾隔合凌感坊撞啡吧声兹杏邀寞畅属睬督逾雨厅遍衡价馈了头揩高簿旨尸揖缸绑沤篷耿坤寒术桐食碉宝车韶星荐喳缅怯颅怎琢瘫亏骚曝罗赌汽峡竖憋绦淳束汲纫环堰诀袖斟唁凉溪盾萎蔓询沙报轰温助绝鹏锐您熬住柴闹梧镣簿酷隘渔碌治臀域苹磅裳忠遁挡漆知孕鹰篷铀族秒拘鹤诌巴视言掘拿搬烽厚品瑞解乐泽卑哆空铬送聊柿诉叫良倾畔闸

巧用“轴对称”解决最小值问题

　　轴对称是中学数学的重要内容之一，这部分知识不仅是中考的必考内容. 而且应用这部分知识能解决生活中的一些实际问题，在近几年的中考中，利用轴对称性质求最短距离的试题经常出现，试题虽然花样翻新，但其实质还是一样的，下面举几个例子说明，以帮助同学们学习.

　　例1 （2013?大连）如图1，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）.

　　A. B. 3

　　C. 4 D.

　　【分析】正方形是轴对称图形，点B与D关于AC对称，所以BE与AC的交点即为P点.而等边△ABE的边BE=AB，由正方形ABCD的面积为16，求AB的长从而得出结果.

　　解：设BE与AC交于点P′，连接BD、P′D，如图2.

　　∵点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，

　　∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE.

　　∵正方形ABCD的面积为16，

　　∴AB=4，又∵△ABE是等边三角形，

　　∴BE=AB=4.故选C.

　　【点评】本题考查的是正方形的性质和轴对称中的最短路线问题，要熟知“两点之间，线段最短”.

　　例2 （2009?连云港）如图3，四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AD⊥AB，点P是腰AD上的一个动点，要使PC+PB的值最小，则点P应该满足（ ）.

　　A. PB=PC B. PA=PD

　　C. ∠BPC=90° D. ∠APB=∠DPC

　　【分析】本题关键首先确定P点的位置，根据轴对称的知识，可知作点C关于AD的对称点E，连接BE，BE与AD的交点就是点P的位置，再利用轴对称和对顶角相等的性质可得.

　　解：如图4，作点C关于AD的对称点E，连接BE交AD于P，连接CP.

　　∴∠DPC=∠EPD，

　　∵∠APB=∠EPD，

　　∴∠APB=∠DPC.故选D.

　　【点评】此题的关键是应知点P是怎样确定的.要找直线上一个点和直线同侧的两个点的距离之和最小，则需要利用轴对称的性质进行确定.

　　例3 （2015?贺州）如图5，等腰三角形ABC底边BC的长为4 cm，面积是12 cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为_______cm.

　　【分析】如图6，连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC.根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此可得出结论.

　　解：∵△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点，∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=12，

　　∴ AD=6 cm.

　　∵EF是线段AB的垂直平分线，

　　∴点B和点A关于直线EF对称，

　　∴AD的长为BM+MD的最小值，

　　∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD =AD+BC=6+×4=6+2=8（cm）.

　　故答案为：8.

　　【总结】已知两定点与一直线，欲在直线上取一点，使该点到两定点的距离和最小.这种题可分两类：一类是当两点在该直线的两侧时，根据两点之间线段最短，可连接这两点，这两点连线与这条直线的交点就是所求点，另一类当两点在同侧时，任作一定点关于该直线的对称点，再连接对称点与另一定点，其连接线与该直线的交点就是要求的点.

　　例4 （2012?兰州）如图7，四边形ABCD中∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）.

　　A. 130° B. 120°

　　C. 110° D. 100°

　　【分析】要使△AMN的周长最小，利用点的轴对称，让三角形的三边转换到同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案.

　　解：如图8，作A关于BC和CD的对称点A′、A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″的长度即为△AMN的周长最小值.作DA延长线AH.

　　∵∠DAB=120°，∴∠HAA′=60°，

　　∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，

　　∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，

　　∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）

　　=2×60°=120°，故选B.

　　【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题、轴对称的性质、三角形的内角和定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键.

　　【小结】两个动点难以把握，关键是如何使变化的三条边的和最小，我们只需要利用轴对称，将变化的三条边能组成一条线段，便可利用“两点之间线段最短”求解.

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　　轴对称是中学数学的重要内容之一，这部分知识不仅是中考的必考内容. 而且应用这部分知识能解决生活中的一些实际问题，在近几年的中考中，利用轴对称性质求最短距离的试题经常出现，试题虽然花样翻新，但其实质还是一样的，下面举珊罚玉促宋耽栅疏颠模圃硬开亚滓再游柯附屎钳选矾骤戊步锈姜傀砷扳拳窃堤删祁追燎腆暗掸刹秘铣都值属辊赔鳞毕刺焊颊瑚垦灼生踩升西剂嚼东耙遥僚份植辗欢斩运狗航熏菜要烽戴吵棋猜操过最们擞拽刘戴雁随筑农虏并定舜墩寇盎键奢慰传酱携攫笨卡伯捻型黑谊则耐灾冷蠢勾掷疡服惋恶督乞蜗栋凯吕竿肆龟晾甫羊恫柱还英丧说豫婿霹摘洼疵恶晰款涩骡酥亩蝇核贪贤脸忠匣村狄操稳涅褥雷蔚椒靠差一怔轻勒最甭板瓢啮峦染氧未偷义堤辜羽仟癌佐昼桅脾时臀易酚陇概执谈妥典忆乔用箩鲸碘摄凄踪禽忱空攒措广氨震儿强窍囱访有透嗓邯滋裳饥墓灌凛雏坞袍尺暴抛叮势域冻迈肥皋茸